Quaternionen

Quaternionen sind eine Erweiterung der komplexen Zahlen in die vierte Dimension. Man kann sie als vierdimensionale Vektoren auffassen (mit einem skalaren Anteil sowie einem Dreiervektor). Mit ihnen lassen sich Probleme lösen, die selbst mit komplexen Zahlen nicht lösbar sind. Z. Bsp. die Linearfaktorzerlegung von a²+b²+c²+d². In der Physik kann man damit gut in der Relativitätstheorie arbeiten, in der Informatik kann man damit schneller Objekte rotieren als mit Matrizen und besser Bewegungen interpolieren.

Man definiert:    ;     wobei i² = j² = k² = ijk = -1

                        ;     konjugierte Quaternion

Multiplikation (Spalte * Reihe)

  i j k
i -1 k -j
j -k -1 i
k j -i -1

Durch die Erweiterung in die 4. Dimension geht die Kommutativität der Multiplikation und der Fundamentalsatz der Algebra verloren:

x² + 1 = 0    hat die Lösungsmenge  ,    b,c,d,    b² + c² + d² ≠ 0

Eigenschaften:

Wenn a = 0, dann ist z eine rein imaginäre Quaternion  u = bi  + cj + dk.    u² = -(b² + c² + d²)

Falls nun b² + c² + d² = 1 ist, ist  u² = -1. Damit lässt sich eine Quaternion z wie folgt darstellen:

z = A + Bu ,  A,B        oder aber

    und damit

        (Formel von DeMoivre)

Für die Wurzelberechnung gilt:

z = p(A + Bu)   mit  A² + B² = 1  und  p

Wenn u und v rein imaginäre Quaternionen sind, gilt für die Multiplikation:

            ist das Skalarprodukt,    das Vektorprodukt

Darstellung durch Matrizen:

                       

Darstellung durch komplexe Matrizen:

                       

... komplexes i