hyperkomplexe Zahlen 4D

Hyperkomplexe Zahlen sind wie Quaternionen eine Erweiterung der komplexen Zahlen in die vierte Dimension. Man kann sie als vierdimensionale Vektoren auffassen (mit einem skalaren Anteil sowie einem Dreiervektor). In der Physik werden sie wiederum in der Relativitätstheorie gebraucht, da sie als bikomplexe Zahlen die gleichen Eigenschaften wie komplexe Zahlen haben.

Man definiert:    ;     wobei i² = j² = -1        k² = ijk = 1

                         ;     konjugiert hyperkomplex

Multiplikation (Spalte * Reihe)

  i j k
i -1 k -j
j k -1 -i
k -j -i 1

Eigenschaften:

Achtung:   

Wir benutzen folgende Notation:

                    A und B sind klassisch komplex

                              

Man sieht, dass man jede hyperkomplexe Zahl in zwei komplexe Zahlen zerlegen kann. Dies ist hilfreich bei der Evaluierung aller Funktionen, da immer gelten muss:

Damit wird jede Funktion auf zwei komplexe Funktionen zurückgeführt. Siehe auch Funktionen.

Darstellung durch Matrizen:

                       

Darstellung durch komplexe Matrizen:

                       

... komplexes i